15/08/2013 15h36 - Atualizado em 15/08/2013 15h36

O que os olhos veem…

B. Piropo
por
Para o TechTudo

Antes de qualquer outra coisa, um aviso: esta coluna não é sobre hardware, tampouco sobre software, informática, computadores ou qualquer tema assemelhado. De modo que se este for seu único interesse e, não obstante, se decidir a lê-la, não há porque reclamar do assunto. Afinal, você foi avisado. No máximo poderá se perguntar que diabos ela está fazendo neste espaço do TechTudo. Bem, é que neste quase um quarto de século que escrevo colunas sobre computadores, de quando em vez me deparo com um assunto interessante que nada tem a ver com essas maquinetas mas que me desperta um interesse que julgo valer a pena dividi-lo com meus diletos leitores cuja maioria, conforme descobri ao longo do tempo, gosta de uma pequena pausa na tecnologia para discutir assuntos variados. Tanto que volta e meia recebo mensagens de correio eletrônico de leitores reclamando que sentem falta de colunas deste tipo.

Hoje, decidi satisfazer a este grupo de leitores. Se você faz parte dele, regozije-se e aproveite a coluna. Se não, seja complacente com este velho colunista e espere a próxima que, quem sabe, pode lhe interessar.

Então, vamos adiante.

A cultura popular está cheia de provérbios que enfatizam a importância de se observar cuidadosamente uma situação para se inteirar dela completamente, não se deixar enganar por algum detalhe que eventualmente passe desapercebido, só formar um juízo pleno após olhá-la detidamente sob todos os ângulos. E as ações de “olhar” e “ver” são consideradas essenciais para que se forme uma opinião consistente. A começar por São Tomé, o símbolo do ceticismo, e a frase a ele atribuída: “Ver para crer”. Mas há outras. Sem pesquisar muito, me veem à mente “O que os olhos não veem o coração não sente”, “Em terra de cego quem tem um olho é rei” e, a que mais nos interessa para o assunto de hoje: “Só acredito vendo com meus próprios olhos” (em inglês há uma expressão equivalente para exprimir incredulidade: “I have to see this” – “eu tenho que ver isso”).

Preste atenção nela. Ela não afirma apenas que para se certificar de algo é preciso ver. Vai além disso. Porque, em sua essência, ela afirma que o que se vê é verdadeiro, ou seja, o simples fato de se ter visto algo implica sua veracidade: se meus olhos viram, então assim é.

Agora olhe para a figura abaixo, examine-a bem, olhe com atenção para os cavalheiros que sobem e descem as escadas no topo da edificação e diga-me lá: os que sobem são os que caminham no sentido horário ou no sentido anti-horário?

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Figura 1: Litogravura “Subindo e descendo” de M. C. EscherFigura 1: Litogravura "Subindo e descendo" M. C. Escher (Foto: Reprodução)

Descobriu o sentido? Olhe de novo. Escolhido um sentido, imagine que poderia ser no sentido oposto e verifique se isto não seria possível. Acompanhe com o olhar toda a extensão da escada e veja em que pontos os personagens parecem subir, em que pontos eles parecem descer.

Ficou confuso?

É natural. Determinar em que sentido a escada “sobe” ou “desce” é impossível. Esta é apenas uma parte da mágica de Escher, sua litogravura intitulada “Ascending and Descending” (subindo e descendo).

Maurits Cornelis Escher foi um gênio. Há alguns anos tive a grata oportunidade de visitar uma exposição de suas obras e fiquei absolutamente fascinado. Ele não é nosso assunto de hoje, apenas usei uma de suas imagens para demonstrar que, ao contrário do que diz a chamada “sabedoria popular”, não se deve acreditar em tudo o que os olhos veem. Mas se você estiver interessado na obra deste gênio absoluto, faça uma pesquisa no Google usando seu nome e descubra um universo surreal indescritível e de uma beleza extraordinária. E, se desejar, pode mesmo adquirir uma reprodução de uma de suas obras em “The Official M.C. Escher Website”.

Agora vamos adiante.

Por que aquela escada por vezes parece subir em um sentido, por vezes parece subir no outro?

Bem, tudo tem a ver com a forma pela qual seu cérebro interpreta as informações obtidas por seus olhos.

Vamos examinar outro objeto “impossível” para tornar isto mais claro. No caso, o Triângulo de Penrose. Aqui está ele.

GPC20130818_2Figura 2: Triângulo de Penrose (Foto: Reprodução)

Esta figura foi desenhada pela primeira vez pelo artista gráfico sueco Oscar Reutersvärd em 1934, aos dezoito anos de idade. Reutersvärd é conhecido como “o pai da figura impossível”, um objeto tridimensional aparentemente factível mas que não pode ser construído. O curioso é que ele sofria de dislexia e tinha grande dificuldade para avaliar a distância e o tamanho dos objetos, o que lhe conferia uma capacidade singular de conceber figuras bidimensionais com características tridimensionais peculiares. Foi um artista gráfico bem sucedido e professor universitário de história e teoria da arte. Morreu em 2002. Em 1984 o governo Sueco emitiu um selo de 25 öre em sua homenagem com seu triângulo impossível (Figura 3).

GPC20130818_3Figura 3: Selo homenageando Oscar Reutersvard
(Foto: Reprodução)

Mas se o triângulo foi desenhado pela primeira vez por Reutersvärd, por que cargas d’água é conhecido como de Penrose?

Bem, porque nos anos 50 do século passado o físico matemático inglês Roger Penrose, cuja tese de doutorado versou sobre “métodos tensores na geometria algébrica”, trabalhando de forma independente, construiu um triângulo com as mesmas características e o classificou como “a impossibilidade em sua forma mais pura”. E foi através dele e de seus trabalhos sobre objetos impossíveis que o triângulo se popularizou. Por isto recebeu seu nome.

Na verdade o que o inspirou para criar independentemente seu triângulo foi uma visita que fez a uma exposição dos trabalhos de Escher, em Amsterdam, enquanto ainda estudante. A partir de então pôs-se a trabalhar na concepção de objetos impossíveis e chegou ao triângulo, também conhecido como “tribarra”. E, juntamente com seu pai, o matemático Lionel Penrose, concebeu a “escada impossível” mostrada na figura abaixo (que se você examinar bem verá que é formada por dois triângulos de Penrose Justapostos). Ele e o pai publicaram um artigo sobre objetos impossíveis e enviaram uma cópia para Escher. Assim, Escher inspirou Penrose a idealizar seus triângulo e escada que por sua vez inspiraram Escher a criar seu trabalho “Ascending and Descending” mostrado na Figura 1 (e outros, como Waterfall).

GPC20130818_4Figura 4: A escada impossível (Foto: Reprodução)

Se você está interessado em figuras impossíveis, pode visitar a página “Impossible Figure” do formidável Wolfram Mathworld (o maior acervo sobre matemática da Internet) onde encontrará um notável conjunto de atalhos e referências sobre o tema e, se desejar “pôr a mão na massa”, obterá instruções passo-a-passo sobre como desenhar um triângulo impossível ou como desenhar um cubo impossível (mostrado na Figura 5), um curioso cubo que parece entrelaçar-se.

GPC20130818_5Figura 5: O cubo impossível (Foto>

Mas nosso interesse não está focado nas figuras impossíveis, mas sim na razão pela qual elas são impossíveis. Ou seja: por que elas desmentem o ditado e fazem com que você veja com seus próprios olhos algo inacreditável.

Então vamos lá. E, para facilitar a explicação, vamos usar um verdadeiro triângulo de Penrose, ou seja, um cujos lados não sejam formados por cubos como o concebido por Reutersvärd. Aqui está ele na Figura 6.

GPC20130818_6Figura 6: O triângulo de Penrose (Foto: Reprodução)

O que ele tem de “errado”? O que faz dele uma figura impossível?

Se observarmos cada um dos três vértices separadamente, absolutamente nada. A impossibilidade só se torna evidente quando observamos o triângulo em toda sua inteireza. Nesse caso vê-se claramente que há algo de errado com seus vértices, que parecem pertencer a um triângulo retorcido, embora seus lados sejam visivelmente retilíneos, sem quaisquer distorções, formados por paralelepípedos alongados. Mas o desenho, em si mesmo, nada tem de estranho ou intrinsecamente errado.

Então porque a sensação de que a figura é impossível?

Fácil: porque a figura é plana, bidimensional, enquanto nossos olhos e nosso cérebro a interpretam como se fosse tridimensional. E é nessa transição de um desenho em duas dimensões para um objeto em três que se dá o imbróglio

Isto porque nossos olhos e cérebro obedecem a determinadas restrições quando interpretam imagens bidimensionais como objetos tridimensionais. Por exemplo: uma linha reta no desenho bidimensional é interpretada como uma linha reta no objeto tridimensional. Linhas contínuas são interpretadas como linhas contínuas. Porém ângulos agudos bidimensionais são interpretados como ângulos retos no objeto.

GPC20130818_7Figura 7: Estrutura tridimensional (Foto: Reprodução)

Repare, na figura acima, como é fácil perceber (além de como são parcos meus dotes artísticos) uma estrutura tridimensional vista de um ponto alto. Veja, como os ângulos superior e inferior formados pela parte branca da estrutura aparecem claramente como ângulos retos.

Agora a compare com a Figura 5. Note que é exatamente a mesma figura na qual foi eliminado o vértice inferior esquerdo do triângulo e acrescentadas duas peças em azul para “dar perspectiva”.

Pois é justamente neste “dar perspectiva” que nossos olhos e cérebro são enganados. Pois nós tomamos como certo que em um objeto tridimensional o que “está na frente” (ou seja, mais próximo de nossos olhos) oculta o que está por trás. E assim interpretamos cada vértice da parte em branco da estrutura da Figura 6. Repare como, na parte de baixo da Figura 6 a estrutura branca oculta a parte superior da perna azul. Isto faz com que nosso cérebro interprete que a parte branca está mais próxima, ou seja, acima da azul. Já na parte superior da imagem, note como a extremidade direita da haste horizontal azul oculta a estrutura branca, fazendo com que a interpretação seja de que a haste azul se sobrepõe á estrutura branca, se encaixando em seu ângulo superior.

Note, também, que além dos ângulos e das eventuais oclusões (ou seja, que partes ocultam outras partes), não temos nenhuma pista que nos ajude a interpretar um objeto tridimensional a partir de uma imagem bidimensional.

Agora olhe novamente para as figuras 5 e 6, respectivamente o cubo e o triângulo impossíveis, e note como partes que deveriam estar expostas estão ocultas e vice-versa (repare particularmente naquela estranhíssima haste vertical no lado esquerdo do interior do cubo).

Em suma: a combinação de nossos olhos e cérebro é capaz de interpretar figuras bidimensionais como objetos tridimensionais, desde que determinadas restrições, ou regras, sejam obedecidas.

Quando elas são quebradas o resultado pode variar desde a total desorientação até as obras geniais de Escher. E o que vemos acaba não correspondendo ao que realmente é.

Então, da próxima vez que disser “só acredito vendo”, pense duas vezes. Porque há casos em que nem vendo se pode acreditar…

B. Piropo

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  • Guilherme Eleutério
    2013-08-15T17:03:50  

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    • Guilherme Eleutério
      2013-08-15T17:03:50  

      Como me faz falta hoje um bom papo-cabeça como os que tínhamos nos meus tempos de final do "ginasial" e do "científico". Bom trabalho, Piropo! Quanto às figuras apresentadas, parece que temos grandes sofismas, onde duas premissas corretas levam a uma conclusão errada. Nas figuras cada parte em separado está correta. Na junção das partes é que aparece o problema. Carlos Marques